Comment écrivez-vous 85 comme la différence entre deux carrés?


Réponse 1:

Je vais résoudre ce genre de style scientifique, pas mathématique.

Peut-être que le moyen le plus simple de trouver une réponse rapide et bon marché est de remarquer un motif dans des carrés consécutifs:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

C'est intéressant. Les carrés consécutifs diffèrent-ils par des nombres impairs consécutifs? Essayons de faire un modèle:

Pourquoi les différences entre les carrés consécutifs sont-elles égales à la séquence des nombres impairs?, À Math Stack Exchange.

Ok, je regarde les formes orange en "L". Cela pourrait être un bon modèle. Cela vaut la peine de broyer une algèbre pour aider à le découvrir. Voyons si nous pouvons trouver une formule pour la différence de carrés consécutifs:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Ouais. Nous pouvons donc montrer à partir des mathématiques que les carrés consécutifs diffèrent par des nombres impairs consécutifs. Nous n'avions pas besoin de données et d'un modèle. Huh.

Quoi qu'il en soit, maintenant nous avons juste besoin de résoudre

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

Donc

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Euh… laisse-moi faire apparaître une calculatrice.

Ouf, ouais, c'est vrai. (J'ai obtenu n = 42 la première fois, mais la calculatrice m'a sauvé et j'ai modifié ma réponse.)

Je parie que ce n'est pas la seule réponse. C'est juste un moyen simple de trouver une réponse.


Réponse 2:

Supposons que vous ayez des nombres entiers positifs A, B tels que

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Factorisation de la différence des carrés:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Nous avons ça

A>BA>B

et nous avons ça

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

MN=85MN = 85

et

M>NM>N

. 85 ne peut être factorisé qu'en 85 * 1 et 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

et

2B=MN2B = M-N

, donc

M+NM+N

et

MNM-N

doivent être pairs, ce qui ne se produit que lorsque M et N sont tous les deux pairs ou impairs.

Généralisation: si «85» était un autre nombre, alors pour que l'équation ait des solutions de nombres entiers, «85» devrait être impair (de sorte que M et N sont tous les deux impairs), ou «85» devrait être divisible par 4 (de sorte que M et N peuvent être choisis pour être tous les deux pairs). Si «85» était divisible par 4, alors M et N devraient tous deux être des facteurs pairs de «85».


Réponse 3:

Il existe probablement plusieurs façons de résoudre ces types de problèmes, mais je pense que ce qui suit est le plus simple.

Nous supposons qu'il existe une solution de nombre entier et voyons où cela nous mène.

Supposons que les deux carrés soient a et b. Ensuite, nous pouvons écrire: (dans les 2 suivants signifie au carré)

a2 - b2 = 85

Nous pouvons factoriser le côté gauche comme (ab) (a + b) de sorte que

(ab) (a + b) = 85

Maintenant, nous recherchons des facteurs de 85. Puisque le nombre se termine par 5, il est divisible par 5. Cela donne 5 * 17. Ce sont tous les deux des nombres premiers, il n'y a donc pas d'autres facteurs, à l'exception de (1 * 85).

Donc: (ab) (a + b) = 5 * 17

On peut donc supposer: (ab) = 5 (a + b) = 17

La somme de ces éléments pour éliminer b donne: 2a = 22, donnant a = 11

Donc 11-b = 5 donne b = 6

Donc a = 11 et b = 6

Pour tester: 11 carrés = 121, 6 carrés = 36,121 - 36 = 85

Essayons la deuxième possibilité (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85 Cela donne 2a = 86 pour que a = 43 et b = 42

Il y a donc exactement deux solutions: (1) a = 11 et b = 6 (2) a = 43 et b = 42