Théorie du chaos: Quelle est la différence entre un comportement chaotique et un comportement aléatoire?


Réponse 1:

L'histoire courte est la suivante. Le comportement aléatoire n'est pas déterministe: même si vous saviez tout ce qui peut être connu sur un système à un moment donné dans les moindres détails, vous ne seriez toujours pas en mesure de prédire l'état à un moment futur. Le comportement chaotique, en revanche, est entièrement déterministe si vous connaissez l'état initial dans les moindres détails, mais toute imprécision dans l'état initial, aussi petite soit-elle, croît rapidement (exponentiellement) avec le temps.

Systèmes aléatoires

Un tirage au sort ou une loterie sont des exemples de systèmes aléatoires [*]. Vous pouvez lancer une pièce un million de fois, connaître le résultat à chaque fois, mais cela ne vous aiderait pas du tout à prédire le résultat du prochain lancer. De même, vous pouvez connaître l'historique complet des numéros qui ont gagné à la loterie, mais cela ne vous aidera pas à gagner à la loterie. (Si cela semble surprenant, voyez l'erreur de Gambler.)

[*] Je fais référence ici à des systèmes idéalisés où le hasard est manifeste.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

Pour rendre cela plus intuitif, imaginez essayer de trouver un ivrogne. Il a quitté le bar à minuit et vous le cherchez une heure plus tard. Puisqu'il est ivre, il marche sans but et vous ne pourrez pas savoir exactement où il se trouve. Cependant, sachant qu'il marche à un rythme d'un pas par seconde, et en supposant que chaque pas est fait dans une nouvelle direction, complètement aléatoire, vous savez qu'après une heure, il ne peut pas être beaucoup plus loin que 60 pas (peut-être une centaine pieds) loin de là où il est parti.

Systèmes chaotiques

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(de Wikipedia)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Holy moly! Les points sont partout! Cela signifie que bien que nous ayons commencé avec deux conditions initiales très similaires, les deux séquences ne se ressemblent pas. C'est le chaos.

Distinguer le chaos du hasard

Il est en fait non trivial de distinguer les nombres aléatoires des nombres non aléatoires. Par exemple, supposons que je vous dis que ce qui suit est le résultat d'un tirage au sort (1 est en tête, 0 est en queue): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (c'est-à-dire quatorze). Est-ce que cela vous semble aléatoire? Je suis sûr que non. Pourtant, j'ai trouvé exactement cette séquence apparaître deux fois sur dix mille lancers de pièces générés à l'aide d'un véritable générateur de nombres aléatoires (random.org). Les mêmes dix mille lancers de pièces contiennent également la séquence [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] deux fois, et [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( dix-huit zéros) une fois. Bien sûr, ces occurrences sont rares (étant donné toute séquence de longueur 14, vous vous attendez à ce qu'elle apparaisse dans l'un des 16000 tirages environ), mais en même temps, il n'est pas surprenant de les voir ici, car nous avons utilisé 10000 échantillons pour les trouver. Le fait est cependant que si quelqu'un vous donne des échantillons d'une séquence aléatoire, rien dans l'échantillon lui-même ne peut vous dire si l'origine de l'échantillon était un processus aléatoire ou non.

Maintenant, comparez les séquences que j'ai montrées ci-dessus avec ceci: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] Celui-ci semble plus aléatoire, non? Eh bien, il a été généré avec un générateur pseudo-aléatoire sur mon ordinateur, ce qui signifie qu'il est en fait calculé de manière déterministe à partir de la dynamique d'un système chaotique! Cela montre la difficulté de distinguer le "vrai" caractère aléatoire de ce que vous obtenez lorsque vous ne connaissez tout simplement pas l'état exact d'un système.

Imprévisibilité

Il est important de ne pas confondre hasard et imprévisibilité. Le comportement aléatoire n'est pas prévisible au sens strict (on ne peut pas faire de prédictions parfaites), mais il peut être prévisible avec un haut degré de précision (comme dans le cas de la marche aléatoire dont j'ai parlé plus tôt). Inversement, l'imprévisibilité peut être due à l'aléatoire (comme l'incapacité de prédire exactement quand une désintégration radioactive se produira), mais dans la plupart des cas, elle est simplement due à notre incapacité à mesurer suffisamment l'état initial d'un système et à le suivre avec suffisamment de précision (comme dans le cas de prévisions météorologiques ou d'essayer de prédire où une goutte d'eau tombera d'une vague éclaboussant contre le rivage [c'est un exemple dû à Feynman que je ne trouve pas de référence pour le moment]).


Réponse 2:

Il existe d'excellentes descriptions de la théorie du chaos et de l'aléatoire en réponse à cette question, mais peut-être vaut-il la peine de noter que le cadre conceptuel de la théorie du chaos est extrêmement précieux dans de nombreux domaines différents; notamment en économie et en affaires, ce sont des domaines où les stratèges doivent avoir un certain contrôle sur une situation complexe où il y a trop de facteurs d'interaction pour pouvoir prédire les résultats.

La nature est un excellent exemple de stratège utilisant le cadre conceptuel de la théorie du chaos pour créer des systèmes biologiques d'une efficacité optimale. La clé pour utiliser utilement la théorie du chaos est de comprendre qu'elle concerne les systèmes dynamiques, qui consistent en une multitude d'éléments en interaction. De tels systèmes sont soumis à des lois physiques fondamentales qui les obligent à toujours essayer de s'installer dans un état stable (de moindre énergie). Bien que cet état stationnaire ne soit pas prévisible, il peut être maintenu sur un grand nombre de variations dans les interactions des composants.

La théorie du chaos nous dit que si les interactions des composants atteignent un seuil critique, le système deviendra chaotique et s'installera ensuite dans un état stationnaire nouveau et différent. La nature utilise ce phénomène pour évoquer le progrès évolutif. Les variations génétiques peuvent généralement être tolérées dans un système biologique, mais de temps en temps un changement génétique peut être suffisant pour que le système biologique fonctionne de manière nettement différente. Cela peut être pour le meilleur ou pour le pire. La concurrence entre les systèmes biologiques garantit que les systèmes qui changent pour le mieux sont préservés et que les changements inférieurs sont perdus.

Bien qu'ils ne connaissent peut-être rien à la théorie du chaos, les économistes intelligents et les hommes d'affaires sont conscients de ce phénomène et lorsqu'un système ne se comporte pas comme ils aimeraient qu'il se comporte, ils apportent des modifications pour le faire basculer dans un nouvel état. Ils doivent être assez courageux pour gérer le chaos à court terme qui en résulte et être prêts à mettre fin aux changements si la situation se détériore, mais c'est la seule façon de gérer et de contrôler des systèmes complexes. Quel dommage que nos politiciens ne soient pas formés à la théorie du chaos.


Réponse 3:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

ce qui signifie qu'il n'y a pas de véritable hasard dans la nature.

Peut-être qu'il n'y a que des degrés de hasard, déterminés par la

degré d'entropie dans le phénomène. Un problème est que parfait

le hasard n'a aucun contenu d'information, et que,

en soi, c'est l'information. Un paradoxe en quelque sorte.


Réponse 4:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

ce qui signifie qu'il n'y a pas de véritable hasard dans la nature.

Peut-être qu'il n'y a que des degrés de hasard, déterminés par la

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le hasard n'a aucun contenu d'information, et que,

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Réponse 5:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

ce qui signifie qu'il n'y a pas de véritable hasard dans la nature.

Peut-être qu'il n'y a que des degrés de hasard, déterminés par la

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Réponse 6:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

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Réponse 7:

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Réponse 8:

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Réponse 9:

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Réponse 10:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

ce qui signifie qu'il n'y a pas de véritable hasard dans la nature.

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Réponse 11:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

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Peut-être qu'il n'y a que des degrés de hasard, déterminés par la

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Réponse 12:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

ce qui signifie qu'il n'y a pas de véritable hasard dans la nature.

Peut-être qu'il n'y a que des degrés de hasard, déterminés par la

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Réponse 13:

Peut-être que dans un certain sens fondamental il n'y a pas de différence,

ce qui signifie qu'il n'y a pas de véritable hasard dans la nature.

Peut-être qu'il n'y a que des degrés de hasard, déterminés par la

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